Vamos a: https://search.google.com/ y nos logueamos con nuestra cuenta de Google.
Si ya tenemos alguna propiedad cargada, veremos la última visitada.

Vamos a añadir una:

Nos solicitará los datos de la propiedad a crear, de esta forma:

Le damos a continuar y ahora deberemos verificar la propiedad de el sitio web. Para ello, podremos descargar un archivo html que deberemos subir a la raíz pública del sitio (generalmente /public_html o /web), que es donde están los archivos que componen el mismo.
Hay otros métodos, como con la cuenta de Google Analitycs (a la que, obviamente, tenés que tener acceso) o agregando un registro a la Zona DNS del dominio... pero son muy engorrosos para mi gusto. Usemos este.

SIN CERRAR LA VENTANA, descargamos el HTML, lo subimos al sitio vía FTP y, una vez que subió, le damos al botón VERIFICAR.

Listo: el sitio ya "está" en Google Search Console.
Ahora vamos a indicarle que indexe una URL.
Primero, elegimos la propiedad del desplegable bajo el logo "Google Search Console", arriba a la izquierda.
Luego vamos a Inspección de URLs y escribimos la url que queremos agregar a la inicial, por ejemplo /contacto, /productos... o simplemente le damos ENTER y se indexará la URL raíz desde la página de inicio.

Va a tomar un tiempo en hacerlo, pero luego mostrará esto que vemos debajo.
Podemos solicitar la re-indexación si cambiamos algo o la indexación de una nueva paágina.
Vale aclarar que no es inmediato. Sería sensato tomarse 7 a 10 días antes de revisar.

Obviamente, esto no representa la totalidad de lo que se puede hacer con Google Search Console sino que es un mero "Inicio Rápido".
Más info en video:
Una introducción:
Y otro, bastante más completo: